Sarkozy定理的一个最优版本

利用傅里叶分析技巧，我们证明：若$\VE>0$，$N\geq \exp\exp(C\VE^{-1}\log\VE^{-1})$且$A\subseteq\{1,...,N\}$，则存在$t\in\N$使得$$\frac{|A\cap (A+t^2)|}{N}>(\frac{|A|}{N})^2-\VE.$$ 这是Lyall和Magyar在文献\cite{LM3}中给出的结果的一个特例，我们将紧密遵循这些论证。我们希望这个特例的阐述有助于阐明\cite{LM3}中的关键思想，其中许多类似论证要复杂得多。