Erdős-Tetali 定理的一个推广

给定序列 $\mathscr{A}=\{a_0<a_1<a_2\ldots\}\subseteq \mathbb{N}$，令 $r_{\mathscr{A},h}(n)$ 表示将 $n$ 写成 $\mathscr{A}$ 中 $h$ 个元素之和的方式数。固定 $h\geq 2$，我们证明若 $f$ 是合适的实函数（即：局部可积、$O$-正则变分且为正增）并满足 $$x^{1/h}\log(x)^{1/h} \ll f(x) \ll \frac{x^{1/(h-1)}}{\log(x)^{\varepsilon}} \text{ 对某个 } \varepsilon > 0,$$ 则必存在 $\mathscr{A}\subseteq\mathbb{N}$ 满足 $|\mathscr{A}\cap [0,x]|=\Theta(f(x))$，且对所有 $\ell \geq 0$ 有 $r_{\mathscr{A},h+\ell}(n) = \Theta(f(n)^{h+\ell}/n)$。此外，对 $h=2$ 该条件可弱化为 $x^{1/2}\log(x)^{1/2} \ll f(x) \ll x$。证明有些技术化，方法依赖于正则变分理论的思想，这些思想在附录中给出，着眼于加性基的一般理论。我们还提及这些思想在 Schnirelmann 方法中的一个应用。