加法链的最小长度

我们用 $\ell(n)$ 表示得到 $n$ 的加法链的最小长度，并定义计数函数 $$F(m,r):=\#\left\{n\in[2^m, 2^{m+1}):\ell(n)\le m+r\right\},$$ 其中 $m$ 为正整数，$r\ge 0$ 为实数。我们证明：对于 $0< c<\log 2$ 和任意 $\varepsilon>0$，当 $m\to \infty$ 时，有 $$F\left(m,\frac{cm}{\log m}\right)<\exp\left(cm+\frac{\varepsilon m\log\log m}{\log m}\right)$$ 和 $$F\left(m,\frac{cm}{\log m}\right)>\exp\left(cm-\frac{(1+\varepsilon)cm\log\log m}{\log m}\right).$$ 这推广了 Erdős 的一个结果，该结果指出：对于几乎所有 $n$，当 $n\to\infty$ 时，有 $$\ell(n)=\frac{\log n}{\log 2}+\left(1+o(1)\right)\frac{\log n}{\log \log n}.$$