关于整数的因子分解个数

设 $f(n)$ 表示正整数 $n$ 分解为大于 $1$ 的因子的无序因子分解个数。我们证明，$f(n)$ 不超过 $x$ 的不同取值个数至多为 $\exp \left( C \sqrt{\frac{\log x}{\log \log x}} \left( 1 + o(1) \right) \right)$，其中 $C=2\pi\sqrt{2/3}$ 且 $x$ 充分大。这改进了第一作者与 F. Luca 此前的一个结果。