关于阶乘的各位数字之和

设 $b > 1$ 为整数，用 $s_b(m)$ 表示正整数 $m$ 在 $b$ 进制下的各位数字之和。我们证明对于每个整数 $n > e$，有 $s_b(n!) > C_b \log n \log \log \log n$，其中 $C_b$ 是仅依赖于 $b$ 的正常数。这将 Luca 给出的 $s_b(n!)$ 的下界提高了 $\log \log \log n$ 倍。我们还证明了同样的不等式，但将 $n!$ 替换为 $1, 2, \dots, n$ 的最小公倍数。