可被其数字乘积整除的数的计数

设 $b \geq 3$ 为正整数。若一个自然数能被其 $b$ 进制各位数字的乘积整除，则称其为 $b$ 进制 Zuckerman 数。设 $\mathcal{Z}_b(x)$ 为不超过 $x$ 的 $b$ 进制 Zuckerman 数的集合，并假设 $x \to +\infty$。首先，我们证明形如 $|\mathcal{Z}_b(x)| < x^{z_b^{+} + o(1)}$ 的上界，其中 $z_b^{+} \in (0,1)$ 是一个可有效计算的常数。特别地，我们有 $z_{10}^+ = 0.665{\scriptstyle\ldots}$，这改进了 Sanna 先前给出的上界 $|\mathcal{Z}_{10}(x)| < x^{0.717}$。此外，我们证明 $|\mathcal{Z}_{10}(x)| > x^{0.204}$，这改进了 De Koninck 和 Luca 先前给出的下界 $|\mathcal{Z}_{10}(x)| > x^{0.122}$。其次，我们提供了一个启发式方法，表明 $|\mathcal{Z}_b(x)| = x^{z_b + o(1)}$，其中 $z_b \in (0,1)$ 是一个可有效计算的常数。特别地，我们有 $z_{10} = 0.419{\scriptstyle\ldots}$。第三，我们提供了分别用于计数和枚举 $\mathcal{Z}_b(x)$ 元素的算法，并确定了它们的复杂度。通过实现其中一种计数算法，我们计算了 $b=3,\dots,12$ 以及（取决于 $b$ 的）大 $x$ 值下的 $|\mathcal{Z}_b(x)|$，并表明结果与我们的启发式方法一致。