关于被其非零基$b$数字乘积整除的数

对每个整数$b \geq 3$和每个$x \geq 1$，令$\mathcal{N}_{b,0}(x)$为不超过$x$且被其非零基$b$数字乘积整除的正整数$n$的集合。我们证明当$x \to +\infty$时，有形如$x^{\rho_{b,0} + o(1)} < \#\mathcal{N}_{b,0}(x) < x^{\eta_{b,0} + o(1)}$的界，其中$\rho_{b,0}$和$\eta_{b,0}$是仅依赖于$b$的${]0,1[}$中的常数。特别地，我们证明对所有充分大的$x$，有$x^{0.526} < \#\mathcal{N}_{10,0}(x) < x^{0.787}$。这改进了De Koninck和Luca所证明的界$x^{0.495} < \#\mathcal{N}_{10,0}(x) < x^{0.901}$。