具有异常大最小公倍数的自然数稠密集

对于任意常数 $C_0>0$，我们构造一个集合 $A \subset {\mathbb N}$，使得当 $x \to \infty$ 时，有 $$\sum_{n \in A: n \leq x} \frac{1}{n} = \exp\left(\left(\frac{C_0}{2}+o(1)\right) (\log\log x)^{1/2} \log\log\log x \right)$$ 以及 $$\sum_{n,m \in A: n, m \leq x} \frac{1}{\operatorname{lcm}(n,m)} \ll_{C_0} \left(\sum_{n \in A: n \leq x} \frac{1}{n}\right)^2$$ 且此处的增长率在对 $C_0$ 的依赖关系上是最优的。这否定了 Erd\H{o}s 和 Graham 的一个问题，并阐明了 Bergelson 和 Richter 所研究的某些“几乎互素”集合的本质。