Sylow 数的密度问题

设 $p$ 为一个素数。我们称正整数 $n$ 为 Sylow $p$-数，如果存在一个有限群恰好拥有 $n$ 个 Sylow $p$-子群。当 $p=2$ 时，所有奇数都是 Sylow $2$-数。相反地，当 $p$ 为奇数时，存在两个正数常数 $c_p$ 和 $c_p'$，记 $\beta(p,x)$ 为不大于 $x$ 的 Sylow $p$-数的个数，则有\n\n$$c_p x (\log x)^{\frac{1}{p-1}-1} \leq \beta(p,x) \leq c_p' x (\log x)^{\frac{1}{p-1}-1}.$$\n\n此外，若 $\beta_s(p,x)$ 为不大于 $x$ 的正整数中是某个有限可解群的 Sylow $p$-数的个数，则\n\n$$\beta_s(p,x) \sim c_p x (\log x)^{\frac{1}{p-1}-1} \qquad\text{当 } x \to \infty.\n\n特别地，当 $p$ 为奇数时，Sylow $p$-数的自然密度为 $0$。