不超过 x 的未被筛去的整数个数

通常，人们预期不超过 x 且所有素因子均来自集合 P 的整数大约有 x\prod_{p\not\in P, p <= x} (1-1/p) 个。当然，对于 P 的某些选取可能会得到相当多的整数，而对于 P 的另一些选取则可能会得到相当少的整数。Hall [4] 证明了所得个数从不超出期望量的 e^\gamma+o(1) 倍（其中 \gamma 为欧拉–马斯刻若尼常数），该结果后被 Hildebrand [5] 略微改进。Hildebrand [6] 还证明了，对于 $\prod_{p\not\in P, p <= x} (1-1/p)$ 的给定值，你所得到的最小计数（渐近地）出现在 P 由给定点之前的所有素数组成时。在本文中，我们改进 Hildebrand 的上界，得到一个接近最优的结果，并给出 Hildebrand 下界的一个相当短的证法。作为证明的一部分，我们给出了此类计数的一个改进的 Lipschitz 型界。