关于二次 Siegel 圆盘的大小：第一部分

若 $\a$ 为无理数，令 $\{p_n/q_n\}_{n\geq 0}$ 为其连分数展开给出的逼近元。Bruno 级数 $B(\a)$ 定义为 $$B(\a)=\sum_{n\geq 0} \frac{\log q_{n+1}}{q_n}.$$ 二次多项式 $P_\a:z\mapsto e^{2i\pi \a}z+z^2$ 在原点有一个中性不动点。若 $P_\a$ 可线性化，令 $r(\a)$ 为 Siegel 圆盘的共形半径，否则令 $r(\a)=0$。Yoccoz 证明了若 $B(\a)=\infty$，则 $r(\a)=0$ 且 $P_\a$ 不可线性化。本文中我们给出不同证明，并证明存在常数 $C$ 使得对所有满足 $B(\a)<\infty$ 的无理数 $\a$，有 $$B(\a)+\log r(\a) < C.$$ 结合 Yoccoz 先前结果（见 \cite{y}），这证明了关于 $B(\a)+\log r(\a)$ 有界的猜想。