周期连分数的有理部分

设 $x$ 为一个周期连分数，其初始块为 $0$，循环块为 $c_1,\ldots,c_n$。则 $x$ 是形式为 $x=a+\sqrt b$ 的二次无理数，其中 $a$、$b$ 为有理数，$b>0$ 且 $b$ 非完全平方数。数 $a$ 和 $\sqrt b$ 由 $x$ 唯一确定。一般而言，很难说明循环块中某一位数字对 $x$ 的出现有何影响。我们强调了一个值得注意的例外情况。事实上，$2a$ 的量级主要由循环块的最后一位数字 $c_n$ 决定，然而 $2a$ 的小数部分却独立于 $c_n$。特别令人感兴趣的是 $2a\in\mathbb Z$ 的情形，当且仅当序列 $c_1,\ldots,c_{n-1}$ 对称时，该情形才会发生。