Brjuno 函数连续估计二次 Siegel 圆盘的大小

若 alpha 为无理数，我们定义 Yoccoz 的 Brjuno 函数 Phi 为 Phi(alpha)=sum_{n geq 0} alpha_0*alpha_1*...*alpha_{n-1}*log(1/alpha_n)，其中 alpha_0 为 alpha 的小数部分，alpha_{n+1} 为 1/alpha_n 的小数部分。满足 Phi(alpha)<infty 的数 alpha 称为 Brjuno 数。二次多项式 P_alpha:z -> e^{2i pi alpha}z+z^2 在原点有一个中性不动点。若 P_alpha 可线性化，令 r(alpha) 为 Siegel 圆盘的共形半径，否则设 r(alpha)=0。Yoccoz 证明了 Phi(alpha)=infty 当且仅当 r(alpha)=0，并且 alpha -> Phi(alpha)+log r(alpha) 在 Brjuno 数集合上的限制从下方被一个通用常数所界。我们证明了它也从上方被一个通用常数所界。事实上，Marmi、Moussa 和 Yoccoz 猜想该函数在 $R$ 上可延拓为指数 1/2 的 H"older 函数。在本文中，我们证明存在到 $R$ 的连续延拓。