基于冗余字母表系统中数字表示定义的分形函数

对于固定的自然数 $r$ 和 $s$（其中 $2\leq s \leq r$），我们考虑区间 $[0;\frac{r}{s-1}]$ 上数字的一种表示，该表示通过字母表 $A=\{0,1,...,r\}$ 并经由展开式 $x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}s^{-n}\alpha_n=\Delta^{r_s}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...}$ 对数字进行编码而获得。本文论证了将数字展开为此类级数的算法。研究了该表示的几何特性，包括数字的几何意义、柱集的性质（特别是它们重叠的特殊性）与度量关系，以及该表示与相应级数部分和之间的联系。本文还给出了对函数 $f$ 的研究结果，该函数定义为 $f(x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{(r+1)^n})=\Delta^{r_s}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...}, \alpha_n\in A$。证明了函数 $f$ 在每个于经典基为 $r+1$ 的计数系统中具有唯一表示的点处连续，并在具有两种表示的点处不连续。该函数具有无界变差和自仿射图像。对于 $r<2s-1$，该函数具有单元素集、有限集、可数集和连续统水平集，包括分形水平集；对于 $r>2s-2$，每个水平集都是连续统，并且是分形或异常分形的。