基于 $Q^*_s$ 表示定义的一种连续体类分形函数

本文研究了一类由 $Q^{*}_{s}$ 多进制表示数定义的多参数函数类 $F$，其形式为\n\n\begin{equation*} f_a\bigl(x=\Delta^{Q^{*}_s}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots}\bigr) = \Delta^{Q^{*}s}_{|a_1-\alpha_1|\,|a_2-\alpha_2|\,\ldots\,|a_n-\alpha_n|\,\ldots}, \end{equation*}\n\n其中 $(a_n)$ 为参数 $a\in[0,1]$ 的 $s$-进制数列的位数序列，\n\begin{equation*} \Delta^{Q^{*}_s}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots}= \beta_{\alpha_1 1}+ \sum_{n=2}^{\infty} \left( \beta_{\alpha_n n} \prod_{j=1}^{n-1} q_{\alpha_j j} \right) \end{equation*}\n\n为由正随机矩阵 $\|q_{ij}\|$ 生成的实数的 $Q^{*}_{s}$ 表示，其中 $\beta_{\alpha_n n}=\sum\limits_{i=0}^{\alpha_n-1} q_{in}$。本文探讨了函数 $f_a$ 在 $Q^{*}_{s}$ 二进制数和 $Q^{*}_{s}$ 单位数组上的连续性。我们证明了该类函数在具有唯一 $Q^{*}_{s}$ 表示数的集合上连续。进一步地，我们指出，除 $f_0$ 和 $f_1$ 外，所有函数在 $Q^{*}_{s}$ 二进制点处都有一个可数不连续点集合。我们根据参数 $a$ 对函数值集合的拓扑类型进行分类。我们证明，如果值集合为康托类型，则其为零维。我们以 $s$-进制表示 $a$ 的位数描述了 $f_a$ 水平集的结构属性。特别地，我们证明 $f_a$ 的水平集可以是空集、有限集或连续体。对于某些 $s$ 值，我们给出分形水平集的例子并计算其分形维数。