由量子整数乘法引出的形式幂级数

对于量子整数 [n]_q = 1+q+q^2+... + q^{n-1}，存在一种自然的多项式乘法使得 [mn]_q = [m]_q \otimes_q [n]_q。该乘法由定义在多项式序列 {f_n(q)} 上的函数方程 f_{mn}(q) = f_m(q) f_n(q^m) 给出，且对所有 n 有 f_n(0)=1。证明若 {f_n(q)} 是该函方程的一个解，则序列 {f_n(q)} 收敛于一个形式幂级数 F(q)。量子乘法也导出函数方程 f(q)F(q^m) = F(q)，其中 f(q) 是一个常数项 f(0)=1 的固定的多项式或形式幂级数，且 F(q)=1+\sum_{k=1}^{\infty}b_kq^k 是一个形式幂级数。证明对每个多项式或形式幂级数 f(q)，该函数方程有唯一解 F(q)。若 f(q) 的次数至多为 m-1，则 F(q) 的系数 b_k 可用 f(q) 的系数与 k 的 m 进表示显式表出。本文还包含对系数在任意域或整环上的形式幂级数收敛性质的综述。