Kontsevich-Zagier 幂级数的复活

本文研究 Kontsevich-Zagier 形式幂级数 $$f(q)=\sum_{n=0}^\infty (1-q)... (1-q^n)$$ 及其解析性质。首先，我们给出相伴形式幂级数 $F(x)=e^{-1/(24x)}f(e^{-1/x})$ 的 Borel 变换的显式公式，由此可明确确定其解析延拓、奇点及其结构。这给出了原幂级数的右/左与中间求和。这些在开右半平面内良定义的和由涉及 Dedekind eta 函数的积分公式表达。中间和也可表示为涉及复误差函数的级数。此外，利用 Zagier 的结果表明，对于有理数 $\a$，在 $-1/(2 \pi i \a)$ 处的极限值与 $F(-1/(2 \pi i \a))$ 一致。研究级数 $f(q)$ 的一个动机来自量子拓扑，它赋予打结的三维对象以数值不变量。受我们的结果启发，我们针对打结对象的形式幂级数提出一个复活猜想，并在三叶结与 Poincare 同调球面情形，以及更一般地对于环面结与 Seifert 纤维化三维流形证明该猜想。在后续出版物中，我们将研究一类包含最简单双曲 $4_1$ 结的量子不变量的幂级数的复活。