Eisenstein级数与乘法幂级数的乘积

如果对于正整数$n$，映射$n\mapsto a_n/a_1$是一个乘法函数，则称幂级数$a_0+a_1q+a_2q^2+\cdots$是\emph{乘法的}。给定Eisenstein级数$E_{2k}(q)$，我们考虑形式乘法幂级数$g(q)$，使得乘积$E_{2k}(q)g(q)$也是乘法的。对于固定的$k$，这一要求导致关于$g(q)$系数的无限多项式方程组。初始系数可以使用消元理论进行分析。利用模形式理论，我们证明$g(q)$初始系数的每个解都导致整个幂级数有且仅有一个解，该解总是一个拟模形式。通过这种方式，我们确定了$k \le 20$时系统的所有解。对于一般的$k$，我们可以将多项式方程组视为定义在符号环上。尽管这个系统超出了计算机代数软件包的能力范围，但我们可以使用特化论证来证明它通常是不可解的。这是微妙的，因为只有当首项系数不特化为$0$时，结式才与特化交换。使用牛顿多边形论证，我们能够计算相关的次数，并证明对于足够大的$k$，不存在解的论断。这些结果支持了猜想：仅当$k = 2, 3, 4, 5, 7$时，$E_{2k}(q)g(q)$才可能是乘法的。