变形指数函数零点序列展开

对于 $q \in (0, 1)$，变形指数函数 $f(x) = \sum_{n \geq 1} x^n q^{n(n-1)/2}/n!$ 已知具有无数个简单负零点 $\{x_k(q)\}_{k \geq 1}$。本文分析 $-x_k(q)/k$ 与 $k/x_k(q)$ 关于 $q$ 的幂级数展开。我们证明这些展开的系数为形式为 $P_n(k)/Q_n(k)$ 与 $\widehat{P}_n(k)/Q_n(k)$ 的有理函数，其中 $Q_n(k) \in \mathbb{Z}[k]$ 明确定义，$P_n(k), \widehat{P}_n(k)\in \mathbb{Z}[k]$ 可递归计算。给出 $P_n(k)$ 与 $\widehat{P}_n(k)$ 主导系数的显式公式，并计算至 $n \leq 300$ 的系数。数值验证表明 $P_n(k)$ 与 $\widehat{P}_n(k)$ 对所有 $k \in \mathbb{N}$ 及 $n \leq 300$ 均为非负值，为阿兰·索克尔的猜想提供进一步证据。