关于附属于算术函数的多项式的增长与零点

本文研究附属于算术函数 $g$ 和 $h$ 的多项式的增长性质与零点分布，其中 $g$ 是归一化、中等增长的，且 $0<h(n) \leq h(n+1)$。我们令 $P_0^{g,h}(x)=1$ 且 \begin{equation*} P_n^{g,h}(x) := \frac{x}{h(n)} \sum_{k=1}^{n} g(k) \, P_{n-k}^{g,h}(x). \end{equation*} 作为一个应用，我们获得了关于 Dedekind $\eta$-函数幂次的傅里叶系数非零域的最佳已知结果。此处 $g$ 为因子和函数，$h$ 为恒等函数。Kostant 关于单复李代数表示的结果以及 Han 关于 Nekrasov--Okounkov 钩长公式的结果得到了推广。这些多项式与 Eisenstein 级数之倒数、Klein 的 $j$-不变量以及第二类 Chebyshev 多项式相关。