指数多项式的 Pólya 零点分布理论的推广及渐近增长的精确结果

q 阶指数多项式是形如 $$f(z)=P_1(z)e^{Q_1(z)}+\cdots +P_k(z)e^{Q_k(z)}$$ 的整函数，其中系数 $P_j(z),Q_j(z)$ 为 $z$ 的多项式，且 $$\max\{\deg{Q_j}\}=q.$$ 1977 年 Steinmetz 证明，$f$ 位于所谓临界射线周围有限个对数条带之外的零点的收敛指数 $\leq q-1$。该结果未涉及 $f$ 在各独立对数条带内的零点分布。本文证明，$f$ 的零点非积分计数函数的渐近增长在每个对数条带内渐近可比于 $r^q$。该结果推广了 1920 年代 Pólya 与 Schwengeler 的一阶结果，并特别地表明 $f$ 的临界射线恰为 $f$ 的 $q$ 阶 Borel 方向。原先由 Steinmetz 给出的 $T(r,f)$ 与 $N(r,1/f)$ 渐近式中的误差项也得以改进。