指数类型Entire函数的Taylor系数与零点

设 $F$ 为一个指数类型 entire 函数，其 Taylor 级数表示为\n\n$$F(z) = \sum_{n\ge 0} \omega_n \frac{z^n}{n!}$$\n\n其中系数 $|\omega_n|=1$。我们证明：要么 $F$ 的零点计数函数 $n_F(r)$ 在无穷远处呈线性增长，要么 $F$ 为指数函数。若仅有正比例的系数 $\omega_n$ 为单位模，则同样结论成立。这显著扩展了卡尔森 (1915) 的经典结果。第二结果要求系数序列 $\omega$ 的条件较弱，但对零点计数函数 $n_F$ 的要求更高。假设 $0<c\le |\omega_n| \le C <\infty$，其中 $n\in\mathbb Z_+$，我们证明 $n_F(r) = o(\sqrt{r})$ 当 $r\to\infty$ 时意味着 $F$ 为指数函数。若存在 $\alpha<1/2$ 使得 $n_F(r_j)=O(r_j^{\alpha})$ 只在序列 $r_j\to\infty$ 处成立，同样结论成立。进一步表明，若 $n_F(r)=O(\sqrt{r})$ 当 $r\to\infty$ 时，则此结论不再成立。