随机泰勒级数的实零点期望个数

设 $\xi_0,\xi_1,\ldots$ 是均值为零、方差为1的独立同分布随机变量。考虑形如 $f(z)=\sum_{k=0}^\infty \xi_k c_k z^k$ 的随机泰勒级数，其中 $c_0,c_1,\ldots$ 是一个实数序列，使得 $c_n^2$ 以指数 $\gamma-1$ 正则变化，其中 $\gamma>0$。我们证明当 $\epsilon \downarrow 0$ 时，$\mathbb{E} N[0,1-\epsilon] \sim \frac{\sqrt{\gamma}}{2\pi} |\log \epsilon|$，其中 $N[0,r]$ 表示 $f$ 在区间 $[0,r]$ 内实零点的个数。