高斯整函数的零点分布
复变函数
2014-01-14 v1
摘要
本文考虑形如 f ( z , ω ) = ∑ n = 0 + ∞ ξ n ( ω ) a n z n , f(z,\omega )=\sum\nolimits_{n=0}^{+\infty}\xi_n(\omega )a_nz^n, f ( z , ω ) = ∑ n = 0 + ∞ ξ n ( ω ) a n z n , ξ n ( ω ) \xi_n(\omega ) ξ n ( ω ) a n ∈ C a_n\in\mathbb{C} a n ∈ C l i m ‾ n → + ∞ ∣ a n ∣ n = 0 \varlimsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0 n → + ∞ lim n ∣ a n ∣ = 0 # { n : a n ≠ 0 } = + ∞ . \#\{n\colon a_n\neq0\}=+\infty. # { n : a n = 0 } = + ∞. P 0 ( r ) = P { ω : f ( z , ω ) P_0(r)=P\{\omega\colon f(z,\omega ) P 0 ( r ) = P { ω : f ( z , ω ) r D r\mathbb{D} r D } \} } p 0 ( r ) = ln − P 0 ( r ) , N ( r ) = # { n : ln ( ∣ a n ∣ r n ) > 0 } , p_0(r)=\ln^-P_0(r),\ N(r)=\#\{n\colon \ln (|a_n|r^n)>0\}, p 0 ( r ) = ln − P 0 ( r ) , N ( r ) = # { n : ln ( ∣ a n ∣ r n ) > 0 } , s ( r ) = ∑ n = 0 + ∞ ln + ( ∣ a n ∣ r n ) . s(r)=\sum_{n=0}^{+\infty}\ln^+(|a_n|r^{n}). s ( r ) = ∑ n = 0 + ∞ ln + ( ∣ a n ∣ r n ) . a 0 ≠ 0 a_0\neq0 a 0 = 0 0 ≤ l i m ‾ r → + ∞ , r ∉ E ln ( p 0 ( r ) − s ( r ) ) ln s ( r ) , l i m ‾ r → + ∞ , r ∉ E ln ( p 0 ( r ) − s ( r ) ) ln s ( r ) ≤ 1 2 , 0\leq\varliminf_{r\to+\infty,\ r\notin E}\frac{\ln(p_0(r)- s(r))}{\ln s(r)},\ \varlimsup_{r\to+\infty,\ r\notin E}\frac{\ln(p_0(r)- s(r))}{\ln s(r)}\leq\frac12, 0 ≤ lim r → + ∞ , r ∈ / E l n s ( r ) l n ( p 0 ( r ) − s ( r )) , lim r → + ∞ , r ∈ / E l n s ( r ) l n ( p 0 ( r ) − s ( r )) ≤ 2 1 , lim r → + ∞ , r ∉ E ln ( p 0 ( r ) − s ( r ) ) ln N ( r ) = 1. \lim\limits_{r\to+\infty,\ r\notin E}\frac{\ln(p_0(r)- s(r))}{\ln N(r)}=1. r → + ∞ , r ∈ / E lim l n N ( r ) l n ( p 0 ( r ) − s ( r )) = 1. E E E
引用
@article{arxiv.1401.2776,
title = {Zeros distribution of gaussian entire functions},
author = {A. O. Kuryliak and O. B. Skaskiv},
journal= {arXiv preprint arXiv:1401.2776},
year = {2014}
}