具有复高斯系数的单位圆正交多项式随机线性组合的零点

我们研究在任意若尔当区域 $\Omega \subset \mathbb C$ 中，形式为 $$P_n(z)=\sum_{j=0}^n\eta_j\phi_j(z)$$ 的随机线性组合的零点分布。基函数 $\phi_j$ 是单位圆上的正交多项式（OPUC），在实轴上取实值，而 $\eta_0,\dots,\eta_n$ 是复值独立同分布高斯随机变量。对于每个固定的 $n$，我们推导出 $P_n$ 在 $\Omega$ 中零点个数的显式强度函数。利用 Christoffel-Darboux 公式，该强度函数呈现出非常简单的形式。此外，当正交多项式与 Szegő 权相关联时，我们给出了强度函数的极限值。