由 OPUC 张成的复随机多项式零点个数的方差

设 $\{\varphi_k\}_{k=0}^\infty$ 为单位圆上关于概率测度 $\mu$ 的一列正交多项式（OPUC）。我们研究随机线性组合 $$P_n(z)=\sum_{k=0}^{n}\eta_k\varphi_k(z),$$ 的零点个数的方差，其中 $\{\eta_k\}_{k=0}^n$ 为复值随机变量。在假设每个 $\eta_k$ 的分布对分数矩与对数矩满足特定一致界的前提下，对于 $\{\varphi_k\}$ 在 Ullman-Stahl-Totik 意义下正则，或正交测度 $\mu$ 满足 $d\mu(\theta)=w(\theta)d\theta$、其中 $w(\theta)=v(\theta)\prod_{j=1}^J|\theta - \theta_j|^{\alpha_j}$、$v(\theta)\geq c>0$、$\theta,\theta_j\in [0,2\pi)$ 且 $\alpha_j>0$ 的情形，我们给出了 $P_n$ 在与单位圆相交的扇形区域内零点个数方差的定量估计。当 $\{\varphi_k\}$ 为实线上出自 Nevai 类的实值多项式且 $\{\eta_k\}$ 为独立同分布复值标准高斯变量时，我们证明了 $P_n$ 在不含单位圆的环形区域内零点个数方差极限值的公式。