具有复高斯系数的整函数随机线性组合的零点

我们研究形如 $$P_n(z)=\sum_{j=0}^n\eta_jf_j(z),$$ 的随机线性组合在任意 Jordan 区域 $\Omega \subset \mathbb C$ 中的零点分布。基函数 $f_j$ 是在实线上取实值的整函数，且 $\eta_0,\dots,\eta_n$ 是复值独立同分布高斯随机变量。我们推导了对于每个固定 $n$，$P_n$ 在 $\Omega$ 中零点数的显式强度函数。我们的主要应用是针对实线上正交的多项式。利用 Christoffel-Darboux 公式，强度函数呈现非常简单的形式。此外，当正交多项式与 Szeg\H{o} 权相关联时，我们给出了强度函数的极限值。