独立同分布 Gaussian 幂级数的零点：共形不变的行列式过程
概率论
2011-11-10 v4 复变函数
摘要
考虑随机幂级数 f(z)=sum a_n z^n 的零点集，其中系数 a_n 为独立同分布的复 Gaussian 变量。我们证明这些零点构成一个行列式过程：更确切地说，其联合强度可写为 Bergman 核的一个子式。我们证明 f 在原点周围半径为 r 的圆盘内零点个数与独立 {0,1} 值随机变量 X_k 之和同分布，其中 P(X_k=1)=r^{2k}。此外，f 的零点绝对值之集合与集合 {U_k^{1/2k}} 同分布，其中 U_k 为 [0,1] 上均匀分布的独立同分布随机变量。零点间的排斥可通过系数作布朗运动的动态版本来研究；我们证明该动力学是共形不变的。
引用
@article{arxiv.math/0310297,
title = {Zeros of the i.i.d. Gaussian power series: a conformally invariant determinantal process},
author = {Yuval Peres and Balint Virag},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0310297},
year = {2011}
}
备注
37 pages, 2 figures, updated proofs