高斯幂级数的零点、Hardy空间与行列式点过程

给定标准独立同分布复高斯随机变量序列$(\xi_n)$，Peres与Vir\'ag（在论文《独立同分布高斯幂级数的零点：共形不变行列式过程》{\it Acta Math.} (2005) 194, 1-35中）发现了如下显著事实：复单位圆盘$\mathbb{D}$内随机幂级数$f(z) = \sum_{n=1}^\infty \xi_n z^{n-1}$的零点构成一个行列式点过程。研究一般随机级数$f(z)$的零点，其中对随机变量$(\xi_n)$的独立性的限制被放宽，是一个重要的开放问题。本文证明若$(\xi_n)$为一无穷复高斯随机变量序列，且其协方差矩阵可逆、其逆为Toeplitz矩阵，则$f(z)$的零点集构成一个行列式点过程，其分布与Peres和Vir\'ag所研究的独立同分布情形相同。论证基于Hardy空间与再生核之间的若干相互作用。我们从经典Toeplitz矩阵与经典分数高斯噪声出发构造了示例。