随机 Dirichlet 级数的实零点

令 $F(\sigma)$ 为随机 Dirichlet 级数 $F(\sigma)=\sum_{p\in\mathcal{P}} \frac{X_p}{p^\sigma}$,其中 $\mathcal{P}$ 为递增的正实数序列,$(X_p)_{p\in\mathcal{P}}$ 为独立同分布随机变量序列,满足 $\mathbb{P}(X_1=1)=\mathbb{P}(X_1=-1)=1/2$。我们证明,在 $\mathcal{P}$ 的一定条件下,若 $\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}<\infty$,则以正概率 $F(\sigma)$ 无实零点;而若 $\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\infty$,则几乎必然 $F(\sigma)$ 有无限多个实零点。