Hurwitz zeta函数与Bernoulli多项式的实零点

研究了Hurwitz zeta函数$$\zeta (s,a)=\sum_{r=0}^{\infty}(a+r)^{-s}\qquad\qquad a > 0$$的实零点的性态。证明了对于大的负$\sigma$，$\zeta (s,a)$在区域$a >\frac{-\sigma}{2\pi e}+\frac{1}{4\pi e}\log (-\sigma) +1$内无实零点$(s=\sigma,a)$。在区域$0 < a < \frac{-\sigma}{2\pi e}$内，零点渐近地位于直线$\sigma + 4a + 2m =0$上，其中$m$为整数。若$N(p)$为给定$p$时$\zeta(-p,a)$的实零点个数，则$$\lim_{p\to\infty}\frac{N(p)}{p}=\frac{1}{\pi e}.$$作为推论，我们给出了Inkeri关于经典Bernoulli多项式$B_n(x)$的实根个数在$n$较大时渐近等于$\frac{2n}{\pi e}$这一结果的简单证明。