Barnes 二重 zeta 函数在区间 $(1, 2)$ 内的实零点

设 $a, w_1, w_2,\cdot\cdot\cdot, w_r >0$ 且 $s \in \mathbb{C}$。令 $w= (w_1,\cdot\cdot\cdot,w_r)$。则当 $\sigma := \Re(s)>r$ 时，Barnes $r$ 重 zeta 函数定义为 $\zeta_r(s, w, a) = \sum_{m_1=0}^{\infty} \cdot\cdot\cdot \sum_{m_r=0}^{\infty} 1/(a+m_1w_1+\cdot\cdot\cdot +m_rw_r)^s$。本文中，我们证明 Barnes 二重 zeta 函数 $\zeta_2(\sigma, w, a)$ 在区间 $(1,2)$ 内有实零点当且仅当 $0< a < (w_1+w_2)/2$，且若 $0< a< (w_1+w_2)/2$ 则此类零点的个数恰为一个。