论 Lerch 公式与四边形 zeta 函数的零点

设 $0 < a \le 1/2$，并定义四边形 zeta 函数为 $2Q(s,a) := \zeta (s,a) + \zeta (s,1-a) + {\rm{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + {\rm{Li}}_s(e^{2\pi i(1-a)})$，其中 $\zeta (s,a)$ 为 Hurwitz zeta 函数，${\rm{Li}}_s (e^{2\pi ia})$ 为周期 zeta 函数。本文中，我们证明存在唯一实数 $a_0 \in (0,1/2)$，使得当 $\sigma \in (0,1)$ 时 $Q(\sigma, a_0)$ 在 $\sigma = 1/2$ 处有唯一二重实零点；对任意 $a \in (a_0,1/2]$，$Q(\sigma, a)$ 在开区间 $\sigma \in (0,1)$ 内无零点；而对任意 $a \in (0,a_0)$，$Q(\sigma, a)$ 在 $\sigma \in (0,1)$ 内至少有二个实零点。此外，我们证明当 $a \in {\mathbb{Q}} \cap (0,1/2) \setminus \{1/6, 1/4, 1/3\}$ 时，$Q(s,a)$ 在绝对收敛区域与临界带内有无穷多复零点。文中亦给出了 $Q(s,a)$ 的 Lerch 公式、Hadamard 乘积公式与 Riemann-von Mangoldt 公式。