四边形 zeta 函数的零点与函数方程

在本文中,我们证明当 $1/4 \le a \le 1/2$ 时,双侧 Hurwitz zeta 函数 $Z(s,a):=\zeta (s,a) + \zeta (s,1-a)$ 的所有实零点仅位于非正偶数整数上,与 $(2^s-1) \zeta (s)$ 的情形完全相同。我们还证明当 $1/4 \le a \le 1/2$ 时,双侧周期 zeta 函数 $P(s,a):={\rm{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + {\rm{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ 的所有实零点仅位于负偶数整数上,正如 $\zeta (s)$ 一样。此外,我们证明当 $1/4 \le a \le 1/2$ 时,四边形 zeta 函数 $Q(s,a):=Z(s,a) + P(s,a)$ 的所有实零点仅位于负偶数整数上。另一方面,我们证明当 $0<a<1/2$ 足够小时,$Z(s,a)$、$P(s,a)$ 和 $Q(s,a)$ 在 $(0,1)$ 中至少有一个实零点。当 $1/4 \le a \le 1/2$ 为有理数或超越数时,也讨论了这些 zeta 函数的复零点。作为推论,我们证明当有理数 $1/4 < a < 1/3$ 或 $1/3 < a < 1/2$ 时,$Q(s,a)$ 不满足 Riemann 假设的类似物,尽管 $Q(s,a)$ 满足 Hamburger 或 Hecke 定理中出现的函数方程,且其所有实零点再次像 $\zeta (s)$ 的情形一样仅位于负偶数整数上。