偏theta函数零点位置的均匀界限

我们考虑偏theta函数$\theta (q,z):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}z^j$，其中$(q,z)\in \mathbb{C}^2$，$|q|<1$。我们证明对于任意$0<\delta _0<\delta <1$，存在$n_0\in \mathbb{N}$使得对于任意满足$\delta _0\leq |q|\leq \delta$的$q$以及任意$n\geq n_0$，函数$\theta$恰好有$n$个模$<|q|^{-n-1/2}$的零点（计重数）。