补遗：部分 theta 函数零点的模分离性质

我们考虑部分 theta 函数 $\theta (q,z):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}z^j$，其中 $z\in \mathbb{C}$ 为变量，$q\in \mathbb{C}$，$0<|q|<1$，为参数。记 $D(a):=\{ q\in \mathbb{C}$，$0<|q|\leq a$，$\arg (q)\in [\pi /2,3\pi /2]\}$。我们证明对 $k\in \mathbb{N}$ 与 $q\in D(0.55)$，$\theta (q,.)$ 在开环域 $|q|^{-k+1/2}<z<|q|^{-k-1/2}$（若 $k\geq 2$）或穿孔圆盘 $0<z<|q|^{-3/2}$（若 $k=1$）中恰有一个零点（且为单零点）。对 $k=1$、$4$、$5$、$6$、$\ldots$，该结论在 $q\in D(0.6)$ 时也成立。