一类模函数的零点

我们将若干关于某些1级模形式零点的工作推广到一类弱全纯模函数，其$q$-展开满足$$f_k(A, \tau) \colon = q^{-k}(1+a(1)q+a(2)q^2+...) + O(q),$$其中$a(n)$为满足某解析条件的数。我们证明此类$f_k(\tau)$在$SL_2(\mathbb{Z})$基本域中的零点位于$|\tau|=1$上且为超越数。我们作为特例恢复了Witten早先关于极值“配分”函数$Z_k(\tau)$的工作。这些函数最初是作为三维量子引力中构造的可能推广而被构想的。