关于涉及经典与非全纯奇异模的域扩张次数的注记

Mertens与Rolen在2015年的论文中证明，对于某个6级“几乎全纯”模函数$P$，当$\tau$为二次时$P(\tau)$在$\mathbb{Q}$上的次数与预期一样大，从而解决了Bruinier和Ono的一个猜想。类似地，对于1级模函数$f$，我们期望$\mathbb{Q}(f(\tau))$具有与$\mathbb{Q}(j(\tau))$相似的次数。在本文中，我证明对于广泛一类1级几乎全纯模函数，对所有二次$\tau$和某个常数$M$有$$\dfrac{1}{M}[\mathbb{Q}(j(\tau)):\mathbb{Q}]\leq [\mathbb{Q}(f(\tau)):\mathbb{Q}]\leq[\mathbb{Q}(j(\tau)):\mathbb{Q}]$$。这是利用o-极小性（o-minimality）技术证明的，因此容易做到一致；常数$M$仅依赖于$f$的“次数”（在某种良定义的意义下）。