次模函数与 XOS 函数低次谱集中性的紧界

次模函数和分数次可加函数（或等价地 XOS 函数）在组合优化、算法博弈论和机器学习中发挥着基础作用。受从随机样本中学习这类函数可学习性的启发，我们研究了此类函数在均匀分布下能被低次多项式在 $\ell_2$ 范数中逼近到何种程度的问题。该问题等价于理解傅里叶权重在低次系数上的集中性，这是傅里叶分析中的一个核心概念。我们证明：1. 对于任意次模函数 $f:\{0,1\}^n \rightarrow [0,1]$，存在一个次数为 $O(\log (1/\epsilon) / \epsilon^{4/5})$ 的多项式，能在 $\ell_2$ 范数内以 $\epsilon$ 误差逼近 $f$，且存在一个次模函数需要 $\Omega(1/\epsilon^{4/5})$ 的次数。2. 对于任意 XOS 函数 $f:\{0,1\}^n \rightarrow [0,1]$，存在一个次数为 $O(1/\epsilon)$ 的多项式，且存在一个 XOS 函数需要 $\Omega(1/\epsilon)$ 的次数。这改进了以往所有针对次模和 XOS 函数仅给出 $O(1/\epsilon^2)$ 上界的方法。此前针对单调次模函数的最佳下界为 $\Omega(1/\epsilon^{2/3})$。我们的技术揭示了次模和 XOS 函数的新结构性质，而这些上界导出了针对此类函数近乎最优的 PAC 学习算法。