无约束 XOS 最大化问题的紧近似界

若一个集合函数可表示为若干加性函数的最大值，则称其为 XOS 函数。当该表示固定时，定义此 XOS 函数所需的加性函数个数称为宽度。本文研究在值预言机模型下最大化 XOS 函数的问题。对于宽度为 $1$ 的 XOS 函数，该问题是平凡的，因为它们就是加性函数；但即便宽度限制为 $2$，问题也已非平凡。我们给出了该问题在多项式时间可近似性上的两类紧界。首先，一般情况下，近似界介于 $O(n)$ 与 $\Omega(n / \log n)$ 之间，若允许随机化则恰为 $\Theta(n / \log n)$，其中 $n$ 为全集大小。其次，当输入 XOS 函数的宽度被常数 $k \geq 2$ 所界时，近似界介于 $k - 1$ 与 $k - 1 - \epsilon$ 之间（对任意 $\epsilon > 0$）。特别地，我们给出了一个线性时间算法来寻找给定宽度为 $2$ 的 XOS 函数的精确最大化元，同时证明即便宽度限制为 $3$，任何精确算法也需要指数级数量的值预言机调用。