次可加估值下 p-均值福利的紧近似算法

我们针对 $n$ 个智能体设计多项式时间算法，以在智能体对物品具有次可加估值时公平且高效地分配不可分物品。我们首先以纳什社会福利为目标，设计了一种多项式时间算法，在价值预言机模型下可求得纳什最优分配的 $8n$ 近似。次可加估值包含 XOS（分数次可加）与次模估值作为特例。即便对于次模估值这一特例，我们的结果也改进了 Garg 等人（2020）先前最佳的 $O(n \log n)$ 近似比。更一般地，我们研究 $p$-均值福利的最大化。$p$-均值福利由指数项 $p \in (-\infty, 1]$ 参数化，涵盖一系列福利函数，如社会福利（$p = 1$）、纳什社会福利（$p \to 0$）与平均主义福利（$p \to -\infty$）。我们给出一种算法，对于次可加估值及任意给定 $p \in (-\infty, 1]$，可在价值预言机模型下于多项式时间内计算出 $p$-均值福利至少达最优值 $\frac{1}{8n}$ 倍的分配。进一步，我们表明该近似保证对 XOS 乃至次可加估值而言基本是紧的。我们改编 Dobzinski 等人（2010）的结果表明，在 XOS 估值下，对任意 $p \in (-\infty,1]$（含纳什社会福利）达到 $O \left(n^{1-\varepsilon} \right)$ 近似都需要指数级多次价值查询；此处 $\varepsilon>0$ 为任意固定常数。