最大纳什福利问题的可处理片段

我们研究在将不可分物品分配给非对称 agent 时最大化纳什福利（MNW）的问题。一个分配的纳什福利是 agent 效用的加权几何平均，且已知具有最大纳什福利的分配满足若干理想的公平与效率性质。然而，计算这样的 MNW 分配是 NP 难的，即便对于具有完全相同加性估值的二个 agent 也是如此。因此，我们旨在识别可处理类，其要么容许 PTAS、FPTAS，要么容许精确多项式时间算法。为此，我们为具有完全相同加性估值的非对称 agent 设计了一个寻找 MNW 分配的 PTAS，从而推广了针对对称 agent 的类似结果。我们的技术也可经调整给出计算最优 $p$-均值福利问题的 PTAS。我们还表明，对于具有 $k$-元估值且 $k$ 为常数的相同 agent，当每个 agent 对物品至多取 $k$ 个不同值时，MNW 分配可在多项式时间内精确计算。接下来，我们考虑每个 agent 至多认为两件物品有价值的特殊情况，并表明即便对于一般单调估值，该类也容许高效算法。相比之下，我们注意到当 agent 可估值三件或更多物品时，最大化纳什福利是 NP 难的，即便 agent 对称且具有加性估值，表明我们的算法结果本质上是紧的。最后，我们表明对于常多个具有加性估值的非对称 agent，MNW 问题容许一个 FPTAS。