关于三元估值下公平分配的难度

我们研究了当代理人具有三元加法估值时不可分物品的公平分配问题——每个代理人对每个物品的估值为所有代理人共有的某个固定整数值 $a$、$b$ 或 $c$。我们考虑的公平性概念包括：当 $a$、$b$ 和 $c$ 为非负数时的最大纳什福利 (MNW)，以及最大平等主义福利 (MEW)。我们证明，对于任意不同的非负 $a$、$b$ 和 $c$，最大化纳什福利是 APX-hard 的——即除非 P = NP，否则该问题不存在 PTAS。我们还证明，对于任意不同的 $a$、$b$ 和 $c$，最大化平等主义福利是 APX-hard 的，除了 $b = 0$ 时存在高效算法的少数情况外。这些结果在完全刻画计算精确 MNW 分配和 MEW 分配的复杂性方面取得了重大进展。在此过程中，我们解决了先前工作留下的关于二元估值下计算 MNW 分配复杂性以及三元混合 manna 下计算 MEW 分配复杂性的开放问题。