在二值实例中最大化纳什社会福利

我们考虑将一组不可分商品$\mathcal{G}$分配给一组智能体$\mathcal{N}$时最大化纳什社会福利的问题。我们研究所有智能体具有二值可加估价的实例：每个智能体$i \in \mathcal{N}$对每个商品$j \in \mathcal{G}$的估价为$v_{ij} \in \{p,q\}$，其中$p,q \in \mathbb{N}$，$p \le q$。也许令人惊讶的是，我们设计了一种算法，在$p$整除$q$（即经适当缩放后$p=1$且$q \in \mathbb{N}$）时在多项式时间内计算出最优分配。当$p$和$q$互素且$p \ge 3$时，该问题是\classNP-hard的。在近似方面，我们给出了针对一般$p$和$q$的肯定与否定结果。我们展示我们的算法获得的近似比至多为1.0345。此外，我们证明该问题是\classAPX-hard的，在$p/q = 4/5$时达到$1.000015$的下界。