通过凸与非凸规划求解加权纳什社会福利的近似算法

在加权纳什社会福利问题的一个实例中，我们给定一个包含$m$个不可分割物品的集合$\mathscr{G}$和$n$个智能体集合$\mathscr{A}$，其中每个智能体$i \in \mathscr{A}$对每个物品$j\in \mathscr{G}$有一个估值$v_{ij}\geq 0$。此外，每个智能体$i$有一个非负权重$w_i$，且所有权重之和为$1$。目标是找到一个分配$\sigma:\mathscr{G}\rightarrow \mathscr{A}$，使得$\prod_{i\in \mathscr{A}} \left(\sum_{j\in \sigma^{-1}(i)} v_{ij}\right)^{w_i}$最大化，即玩家加权估值的乘积。当所有权重等于$\frac1n$时，该问题退化为经典的纳什社会福利问题，该问题近期受到了广泛关注。在这项工作中，我们为加权纳什社会福利问题提出了一个$5\cdot\exp\left(2\cdot D_{\text{KL}}(\mathbf{w}\, ||\, \frac{\vec{\mathbf{1}}}{n})\right) = 5\cdot\exp\left(2\log{n} + 2\sum_{i=1}^n w_i \log{w_i}\right)$近似算法，其中$D_{\text{KL}}(\mathbf{w}\, ||\, \frac{\vec{\mathbf{1}}}{n})$表示由$\mathbf{w}$诱导的分布与$[n]$上均匀分布之间的KL散度。我们展示了\cite{cole2017convex, anari2017nash}中提出的未加权纳什社会福利变体的凸规划松弛之间的新颖联系，并将这些规划推广到加权情况下的两个不同数学规划。第一个规划是凸的，对于计算效率是必要的，而第二个规划是一个可以高效舍入的非凸松弛。近似因子源于凸松弛与非凸松弛目标值之间的差异。