关于 $\mathbb{Z}[j]$ 上模函数整数性及克朗克类型同余关系

设 $N$ 为正整数，设 $f$ 为具有有理傅里叶系数的水平为 $N$ 的仿射模函数。对于素数 $p$，定义函数 $f_p$ 在复上半平面 $\mathbb{H}$ 上的函数为 $f_p(\tau)=f\left(\frac{\tau}{p}\right)\quad(\tau\in\mathbb{H})$。设 $j$ 为椭圆模函数。我们证明若 $p\equiv 1$ 或 $-1\Mod{N}$ 且 $f$ 在 $\mathbb{Z}[j]$ 上整数化，则 $\frac{1}{p}(f_p^p-f)(f_p-f^p)$ 也在 $\mathbb{Z}[j]$ 上整数化。该结果推广了经典克朗克同余关系。