系数为$1$和$p$的Ramanujan-Mordell公式的推广

我们利用模形式的性质证明了Ramanujan-Mordell公式的以下推广：\begin{align*} z^{k-j}z_p^{j}=&\frac{p_{\chi}^{k-j}-1}{p_{\chi}^{k}-1}F_p(k,j;\tau)+ \frac{p_{\chi}^{k}-p_{\chi}^{k-j}}{p_{\chi}^{k}-1}F_p(k,j;p\tau)+z^{k} A_p(k,j;\tau), \end{align*} 对所有$1 < k \in \mathbb{n}$，$0 \leq j \leq k$和奇素数$p$成立。我们通过计算模形式在$\Gamma_0(4p)$所有尖点处的傅里叶级数展开得到了这一结果。