$\mathbb{Q}(N^{1/p})$ 的非分歧 $p$-扩张的模构造

我们证明，对于满足 $N \equiv -1 \bmod p$ 的素数 $N, p \geq 5$，$\mathbb{Q}(N^{1/p})$ 的类数可被 $p$ 整除。我们的方法利用了 Eisenstein 级数与尖点形式之间的同余关系。特别地，我们证明当 $N \equiv -1 \bmod p$ 时，总存在一个权为 $2$、级为 $\Gamma_0(N^2)$ 的尖点形式，对于所有素数 $\ell$，其第 $\ell$ 个 Fourier 系数模 $p$ 上方的一个素数同余于 $\ell + 1$。我们利用该尖点形式的 Galois 表示，显式构造了 $\mathbb{Q}(N^{1/p})$ 的一个非分歧 $p$ 次扩张。