模$23$与$y^2=x^3-23$的同余是平凡的

我们称$\mathbb{Q}$上的两条椭圆曲线$E$和$F$在素数$p$处同余，如果它们的$p$-挠Galois模（在$\mathbb{Q}$的代数闭包上）是同构的。如果$E$和$F$之间存在次数与$p$互素的有理同源，则称这种同余是平凡的。Frey-Mazur猜想的一个版本指出，任何模任意素数$p \geq 19$的同余都是平凡的。给定一条椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和一个素数$p$，众所周知，经典模曲线$X(p)$的一个扭曲，其有理点描述了与$E$模$p$同余的椭圆曲线。在本文中，我们应用Mazur的策略，在特定假设下确定这种扭曲模曲线的有理点。这尤其涉及确定其Jacobian的先前未知的Tate模，以及Birch和Swinnerton-Dyer猜想（针对非$\mathrm{GL}_2$型的阿贝尔簇）的新实例。特别地，当$p$是素数且模$9$同余于$5$时，我们确定了任何与$y^2=x^3-p$模$p$同余的椭圆曲线的导子的显式界，并推导出任何模$23$与$y^2=x^3-23$的同余都是平凡的。