偏 theta 函数零点的渐近展开

二元级数 $\theta (q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ 定义了一个{\em 偏 theta 函数}。对于固定的 $q$ ($|q|<1$)，$\theta (q,.)$ 是整函数。我们证明了 $\theta$ 的零点关于 $q$ 的 Laurent 级数系数的稳定化性质。稳定化级数的系数 $r_k$ 为正整数。它们是一个已知递增序列的元素，满足递推关系 $r_k=\sum _{\nu =1}^{\infty}(-1)^{\nu -1}(2\nu +1)r_{k-\nu (\nu +1)/2}$。